暗物質, 八元數（octonion）

■暗物質是我們這個年代最大的科學謎團之一，不過一旦接受了它們的存在，宇宙裡許多其他的謎團，答案也就一一浮現了。 ■不論此不明物質是什麼，它似乎能夠解釋銀河系的外緣為何如此明顯地扭曲變形。環繞著銀河系的衛星星系自然能夠彎折星系盤，但若欠缺暗物質提供的放大機制，它們的重力效應仍太微弱。 ■暗物質可解答的另一個問題是，為何銀河系的衛星星系數量比理論模型的預測少很多？事實上，衛星星系可能就存在於某些地方，只不過幾乎全由暗物質所構成，因此很難偵測到。 雖然天文學家花了很長的時間，才了解暗物質在宇宙裡的重要性，但我卻是瞬間頓悟的。1978年，我在美國加州大學柏克萊分校擔任博士後研究員時的第一個計畫裡，我測量了我們銀河系盤較外側區域裡正在形成恆星的巨型分子雲之旋轉速度。我用當時最精確的方法來測量，並坐在天文系的交誼廳裡用手在繪圖紙上將結果畫出來。兩位銀河系的專家徐遐生和金恩（Ivan King）恰巧在旁邊，看著我填上最外側星雲的速度。當我們看到最後的圖案時，立刻清楚意識到銀河系原來處處充斥著暗物質，特別是在最外緣的部份。我們毫無頭緒地坐下，思考著暗物質的本質是什麼，並很快發現所有我們能想出的主意都是錯的。 1970與1980年代，包括上述研究在內的許多研究結果迫使天文學家不得不承認暗物質（一種既不發射也不吸收光，僅能透過重力效應來確認其存在的神秘物質）不但存在，並且是構成宇宙的最重要物質。威金森微波異向性探測器（WMAP）所做的測量，證實了暗物質的總質量是一般物質（質子、中子、電子等）的五倍；但其本質為何，卻仍然難以捉摸。這顯現出我們對於未經證實的物質理論所做的最保守假設，是多麼地無知——那些理論推測暗物質是由一種仍未被粒子加速器所偵測到的奇特粒子所構成。最不可思議的假說甚至認為，牛頓的重力定律與愛因斯坦的廣義相對論錯了，最起碼需要一些令人不怎麼舒服的修改。 無論暗物質本質為何，對於銀河系如何擁有某些特定性質的古老謎團，暗物質提供了解答的關鍵。例如，天文學家50多年前就已經知道銀河系的外緣部份，就像被遺忘在暖爐上烘烤的黑膠唱片般扭曲變形。除非考慮暗物質的效應，否則他們無法解釋這種變形。還有，依據暗物質的假想性質所做的電腦模擬預測，應該有成千上百個衛星星系正環繞著銀河系運動才對，但天文學家只觀測到20幾個衛星星系，人們不禁懷疑暗物質的性質是否和想像中不同。但近年來，有些天文團隊發現了許多矮星系，縮減了這項數量上的差異。這些最近找到的衛星星系不僅幫忙解決了長久以來關於星系結構的謎，或許也能提供一些關於宇宙物質總量的知識。 扭曲的銀河系 暗物質究竟告訴我們關於銀河系的哪些資訊？要回答這個問題，我們得先大概了解一下星系的組成。恆星與氣體等一般物質，駐留在四個主要結構裡：薄薄的星系盤（包括風車狀的螺旋圖案與太陽所在的位置）、緻密的星系核（這裡藏著一個超大質量黑洞）、稱為星系棒的狹長凸出部份，以及包覆著星系其他古老恆星和星團的球狀「暈」。暗物質的分佈則全然不同，雖然我們無法看見它，但可藉由恆星與氣體的旋轉速度推測其存在；它對可見物質的重力效應顯示它約呈球狀分佈，並延伸遠超過星暈的範圍，密度則在中心處最高，然後大約隨著距離的平方向外遞減。這種分佈形態是天文學家稱為「階式合併」的自然結果：此論點認為小星系在早期宇宙中合併增長，建構出包括銀河系在內的較大星系。 多年來，天文學家對於暗物質的基本認識，始終停留在這個由未知物質構成、找不到明顯特徵的巨球。但在過去數年裡，我們已成功蒐集了更詳盡的資訊，證實暗物質比我們想像中更有趣──有許多證據顯示，暗物質並非均勻分佈，反而擁有一些巨大的團塊結構。 這項不均勻的特性剛好能夠解釋星系扭曲的發生與程度。當天文學家說星系被扭曲了，主要指的是星系盤外緣區域的彎曲變形。星系盤距離中心超過五萬光年的地方，幾乎全是氫原子氣體，只有很少量的恆星。依據無線電波望遠鏡的觀察，這些氣體並非橫躺在星系平面上；越向外側，氣體的分佈就越偏離星系平面。大概到了7萬5000光年的地方，星系盤就自星系平面處偏折了約7500光年。 顯然當盤內氣體繞著中心轉的時候，會上下振盪進出平面。這個振盪的週期超過億萬年，而我們就在該循環的某一瞬間捕捉到它的身影。基本上，氣盤的作用就如同某種巨大的鑼，以慢動作緩緩地晃盪。就像鑼一樣，它能以多重頻率振盪，每個頻率對應到特定的曲面形狀。2005年，我們證實了觀測到的扭曲變形是三種頻率加成的結果，最低的頻率比中央C還低了64個八度音程。此外，其整體效應是不對稱的：星系某一側的氣體比另一側的更遠離星系平面。 1950年代首度發現這扭曲變形現象的電波天文學家認為，那是受到了環繞銀河系最重的兩個星系──大、小麥哲倫雲的重力影響所致。因為這兩個衛星星系的軌道不在銀河系平面上，它們的重力會扭曲星系盤。不過，詳細的計算顯示，由於麥哲倫雲比銀河系小太多，重力太過微弱，因此數十年來，銀河系明顯扭曲變形的原因仍然是個無解的問題。 ------------------ 我們從小就開始學數，先從計數開始，繼而學習加、減、乘、除四則運算。不過數學家知道，學校所教的數，只是眾多可能數系之一。例如在理解幾何學和物理學時，其他的數也很重要，而其中最古怪的數系之一就是八元數（octonion）。自1843年誕生以來，八元數被大多數人忽略了，但是在過去二、三十年，八元數卻在弦論中佔有奇特的重要性。而且，如果弦論真的可以正確描述宇宙，那麼八元數或許可以解釋宇宙的維度。 以虛為實 八元數並非第一個後來用於研究宇宙的純數學結構，也不是第一個有特別用途的另類數系。為了清楚說明，先讓我們回到最簡單的數：學校教的、數學家稱為實數的數系。所有實數的集合構成直線，因此實數整體是一維的；或者反過來想，因為描述直線上的點需要一個實數，所以直線是一維的。 16世紀之前，實數是世上僅有的數系。不過到文藝復興時期，有企圖心的數學家試圖解出更複雜的方程式，甚至還舉行比賽，看誰能解出最困難的問題。當時，義大利身兼數學家、醫生、賭徒與占星家的卡丹諾（Gerolamo Cadano）引入-1的平方根，做為他求勝的秘密武器。卡丹諾不顧旁人的指摘，即使問題的答案通常是實數，也大膽地在冗長的計算中運用這個神秘的數。卡丹諾並不知道這個技巧為什麼有用，他只知道這樣做可以得出正確答案。1545年，卡丹諾將想法出版，也開啟了為期數百年的爭議：-1的平方根是真實存在？或者只是一項技巧？約100年之後的思想家笛卡兒（René Descartes）提出裁決，語帶貶抑地稱它為「虛幻」（imaginary）的數，這個虛數現在記成i。 雖然如此，數學家跟隨卡丹諾的腳步，開始運用形如 a+bi的複數，其中a和b是普通的實數。1806年左右，瑞士業餘數學家阿爾岡（Jean-Robert Argand）宣揚以複數來描述平面的觀點。 用a+bi描述平面點的方法很簡單，a表示這個點的橫向位置，b表示縱向的位置，這樣就可以將複數視為平面上的點。不過阿爾岡想得更深入，他還說明了如何將複數的四則運算，解釋成平面上的幾何操作。 為了理解這些幾何操作，我們先從實數來暖身。在實數線上做加、減，就是往右或往左移動；而乘、除一個正實數，相當於將實數線做伸縮。例如乘以2，是將直線放大2倍；而除以2，則是縮小2倍，也就是將各點間的距離縮減2倍；若乘以-1，則是將直線左右翻轉。 類似的想法也可以用到複數，只是多了一些變化。將平面上一點加上a+bi，相當於將該點往右（左）移動a，再往上（下）移動b。而乘以一個複數，則是除了將平面放大或縮小之外，還多了平面的旋轉。其中特別的是，乘以i相當於將平面逆時針轉1/4圈，因此將1乘以i再乘以i，相當於將平面轉了半圈，也就是從1轉到-1。最後，除法是乘法的相反，因此除以一個複數，是將放大換成縮小，或是反過來將縮小換成放大，然後再反方向旋轉。 大部份對實數能做的操作，對複數也都能做，而且事實上還做得更好，卡丹諾就深得箇中三昧，因為在複數中我們能解的方程式比限制在實數時還多。如果二維的數系能提供我們更大的計算威力，那麼何不考慮更高維的數系呢？可惜，擴張沒那麼簡單。高維數系的秘密在過了數十年後，才被一位愛爾蘭數學家揭開，然後到了兩個世紀之久後的現在，我們才開始理解它們的威力。 漢米爾頓的煉金術 1835年，時年30歲的愛爾蘭數學兼物理學家漢米爾頓（William Rowan Hamilton）發現了用實數對來處理複數的方法。當時的數學家多半採用阿爾岡提倡的a+bi寫法來表達複數，不過漢米爾頓注意到，複數a+bi也可以用兩個實數a與b的某種特別記法來表示，例如實數對(a,b)。 這種記法在處理複數的加減法時特別容易，只要將對應位置的實數做加減就好了，同時漢米爾頓也研究出處理複數乘除法時，比較複雜的運算規則，並藉此保持了阿爾岡所發現的美好幾何意義。 在發明這個具有幾何意義的複數代數系統之後，漢米爾頓嘗試了非常多年，想要發明更大的三元數(a,b,c)代數系統，希望它能在三維幾何裡扮演類似複數的角色，結果卻帶給他無盡的挫折。漢米爾頓曾經在給兒子的信中寫道：「每天早上……當我下樓吃早餐時，你和年幼的弟弟威廉，總會習慣問我：『那個，爸，今天你把三元數乘起來了嗎？』當時的我也總是傷心地搖搖頭，不得不回答你們：『還不行，我只會做加法和減法。』」當時的漢米爾頓並不知道，他給自己的這項挑戰在數學上是不可能完成的。 漢米爾頓在尋找的是一個可以做加、減、乘、除的三維數系，其中的難處在於除法。可以做除法的數系稱為可除代數（division algebra）。直到1958年，才有三位數學家證明了一個懸宕幾十年的驚人事實：可除代數的維度只有四種可能：一維（實數）、二維（複數）、四維與八維。因此除非漢米爾頓改變遊戲規則，否則根本不可能成功。 1843年10月16日，漢米爾頓自己找到了解決方法。當時他正和太太走在愛爾蘭都柏林的皇家運河畔，準備到愛爾蘭皇家學院去開會。途中漢米爾頓突然心血來潮想到：在三維空間中，如果他想要描述旋轉與伸縮，不能只用三個數，他需要第四個數。於是漢米爾頓創造了形如a+bi+cj+dk的四元數（quaternion），其中i、j、k都是-1 的平方根，彼此並不相等。 後來他回憶說：「在那一剎那，我腦中的電路突然中斷，迸出的火花就是i、j、k的基本方程式，此後我一直應用著它。」 當時，漢米爾頓還上演了數學史上知名的破壞文物大戲，他當下就將這個方程式刻在身邊布魯罕橋（Brougham Bridge）的石頭上。雖然橋上的真跡已經湮滅，但是原址現在有一塊石板以文字記錄著這項發現。 我們需要用到四維空間才能描述三維空間的變化，乍聽之下似乎很奇怪，不過的確是如此。因為其中有三個數要用來描述三維空間中的旋轉：用開飛機來想像最容易解釋，為了定向，我們需要控制機身和水平面的夾角，稱為俯仰角（pitch）；其次我們也需要像開車一樣控制左右轉角，這是偏航角（yaw）；最後還有控制機翼與水平面夾角的滾轉角（roll）。第四個數則是用來描述伸縮的程度。 漢米爾頓以他的餘生專研四元數，並發現了許多實際的應用。今日在實際應用時，四元數已被較簡單的向量形式取代，大致上可以想成是少了第一個數的特殊四元數：ai+bj+ck。不過四元數仍然有其長處：它可以比較有效率地在電腦上表示旋轉，也適用於其他需要類似效果的應用上，譬如太空船使用的姿態控制系統，或者電玩遊戲中的繪圖引擎。